Урок №3

Позиционные системы счисления.

(кодирование числовой информации)

См. слайд

Системы счисления делятся на следующие виды:

1. единичные системы (системы бирок);

2. непозиционные (кодовые) системы;

3. позиционные системы.

Единичные системы счисления

        Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.

Ознакомление с различными системами счисления.

1.      Запустить программу  G:/9klass/System.

2.      Ввести команду [Системы-Единичная].

3.      В появившемся диалоговом окне Единичная система  ознакомиться с содержанием текстовых окон История системы и Сущность системы.

Непозиционные системы счисления

        Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.  Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент  каждой  цифры не зависит  от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку. Ознакомьтесь с системой в той же программе.

Римская система счисления.

 Примером непозиционной системы, которая  сохранилась  до  наших  дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи,  Мille — тысяча).

        Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).

        Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к  его  значению,  а  каждый меньший знак,  поставленный слева от большего, вычитается из него.

Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1,

а десятичное число 99 имеет вот такое представление:

XCIХ=-10+100-1+10.

 Позиционные системы счисления

        Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

        Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Пример 1. Десятичное число А₁₀=4718,63 в развернутой форме запишется так:

А₁₀=4*10³+7*10²+1*10¹+8*10⁰+6*10^-1+3*10^-2

В этой системе основанием является число q=10, все числа расписываются по  степеням десятки, число цифр 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Пример 2. Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание является число q=2,  все числа расписываются по  степеням двойки, число цифр 2: 0, 1.

Записав двоичное число А₂=1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А₂=1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1 = 8+1+0,5 = 9,5₁₀.

Пример 3. Восьмеричная система счисления.

Основание q=8.

Набор цифр (или, можно сказать, алфавит): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Записав восьмеричное число А₈=7764,1  в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А₈=7*8³+7*8²+6*8¹+4*8⁰+1*8^-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,125₁₀

Пример 4.  Шестнадцатеричная система счисления.

Основание=16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое  обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита A, B, C, D, E, F.

Таким образом, запись 3АF₁₆ означает:

3АF₁₆ = 3*16²+10*16¹+15*16⁰ = 768+160+15 = 943₁₀.

Пример 5. Запишем начало натурального ряда чисел в  десятичной  и  двоичной системах счисления: